صفحات 4۳ – 544۳نشریه هنرهای زیبا – معماری و شهرسازی دوره ۱۸

شماره۲ تابستان ۱۳۹۲
108900011654

بررسی وجود نظم شبه تناوبی در ساختار هندسی پتکانه

صاحب محمدیان منصور1، سینا فرامرزی2
۱دانشجوی دکتری معماری، دانشکده معماری و شهرسازی دانشگاه شهید بهشتی و مربی دانشکده هنر و معماری دانشگاه بوعلی سینای همدان، ایران.
۲دانشجوی کارشناسی ارشد معماری، دانشکده هنر و معماری، دانشگاه تربیت مدرس، تهران، ایران.
)تاریخ دریافت مقاله: ۱۹/۱۲/۹۱، تاریخ پذیرش نهایی: ۸/4/۹۲(
چکیده
نظم شبه تناوبی با اینکه در دنیای غرب بسیار نوظهور است، اما تسلط معماران ایرانیِ دوره تیموری بر نظم شبه تناوبیِ ده محوری، مورد قبول جامعه علمی جهان است. در این مقاله قصد داریم تا با بررسی وجود نظم شبه تناوبیِ هشت محوری در ساختار هندسی پتکانه، این موضوع را اثبات نماییم که معماران ایرانی علاوه بر شناخت نظم شبه تناوبیِ ده محوری، بر اصول نظم شبه تناوبیِ هشت محوری نیز مسلط بوده اند. لذا سوال اصلی این پژوهش این است که؛ آیا پتکانه دارای نظم شبه تناوبیِ هشت محوری است؟ در این راستا، در سه سطح، به بررسی وجود نظم شبه تناوبی در ساختار پتکانه پرداخته شده است. در بررسی های صورت گرفته به این نتیجه رسیدیم که اولاً؛ پتکانه در هسته مرکزی، دارای نظم شبه تناوبی است، لذا می توان ادعا نمود که معماران ایرانی از دوره ایلخانی )و نه تیموری( با نظم شبه تناوبی آشنایی داشته اند، ثانیاً؛ در توسعه و گسترش پتکانه ،معماران ایرانی توانسته اند، با ایجاد ابداعاتی خلاقانه در ساختار هندسی آن، این ساختار هشت محوری را در زمی نههای چهار محوری منطبق نمایند که این موضوع گویای تلفیق یک نظام هندسیِ منطبق بر ساختار طبیعت با نظام هندسیِ عملکردی پلان معماری است.
واژههای کلیدی
هندسه، نظم شبه تناوبی، نظم شبه تناوبی هشت محوری، پتکانه، مقرنس.
۱۸

مقدمه

نظم شبه تناوبی، گونه ای از انتظام هندسی در عالم هستی است که در ساختار خرد مقیاس شبه بلورها قابل شناسایی است. این نظم اولین بار در سال ۱۹7۳ در حوزه ریاضیات توسط راجر پنروز مطرح شد؛ سپس در سال ۱۹۸4 در شبه بلورها کشف شد و بدین ترتیب می توان گفت این علم در حوزه ریاضیات ،شیمی و فیزیک موضوعیت دارد. مق الهای که پروفسور جیمز لو و همکارانش در سال ۲۰۰7 در مجله ساینس به چاپ رساندند ،مشخص نمود که ایرانیان از دوره تیموری با نظم شبه تناوبیِ ده محوری آشنایی داشته اند و از آن در ساختار شاه گره های دوره های تیموری و بعد از آن استفاده نموده اند .
در این مقاله به دنبال اثبات وجود نظم شبه تناوبیِ هشت محوری در عنصری دیگر از معماری ایرانی، یعنی مقرنس ها و پتکانه ها هستیم. با اثبات وجود این نظم در واقع ثابت خواهد شد که ایرانیان از دوره ایلخانی با این نظم هندسی آشنایی داشته اند.
پتکانه عنصری برآمده از تاریخ و فرهنگ ایرانی- اسلامی
4469993390349

است چرا که حاصل توسعه و تکامل سکن جهای ایرانی است .محققینی نظیر بزنوال، نخستین کاربرد سکنج را در کاخ سروستان و آن را مادر تمام گوشه س ازیهای بناهای اسلامی م یدانند و لذا در صورت احیا م یتواند هویتمند و هویت ساز باشد. یکی دیگر از ابعاد مهم پتکانه، قابلیت خ ودایستایی آن است که باعث شده بتواند فراتر از نقش تزئیناتی در معماری ایفای نقش نماید. ویژگی حائز اهمیت دیگر، انطباق ساختار هندسی پتکانه با ساختار هندسی شبه بلورها و به عبارتی دیگر، انطباق آن با هندسه خرد مقیاس طبیعت )شبه بلورها( است. از طرفی باید این نکته را نیز خاطر نشان ساخت که، تمامی مطالعاتی که تا کنون در خصوص هندسه شبه تناوبی در غرب انجام شده در حوزه هندسه مسطحاتی و دو بعدی است اما پتکانه دارای ساختار سه بعدی و فضا کار است و لذا باید گفت در حالی که دنیای معاصر غرب هنوز در حال مطالعه هندسه دو بعدی شبه تناوبی است، معماران ایرانی از دوره ایلخانی با هندسه سه بعدی و فضا کار شبه تناوبی آشنایی داش تهاند.
1- بررسی ادبیات تحقیق
در بررسی ادبیات تحقیق، به دو موضوع به طور مجزا پرداخته شده است. موضوع اول در باب نظم شبه تناوبی است که اساساً در ایران موضوعی کمتر شناخته شده است و موضوع دوم در خصوص پتکانه و ویژگی های هندسی آن می باشد.
1-1- نظم شبه تناوبی
در خصوص نظم شبه تناوبی، علی رغم اشراف ایرانیان از قدیم الایام با این موضوع، در دوره حاضر در ایران مطالعات خاصی در این زمینه صورت نگرفته است و تمامی تحقیقات صورت گرفته در خارج از ایران و عموماً توسط محققان علوم ریاضی، فیزیک و شیمی انجام شده است. لذا در ادامه به جهت آشنایی بیشتر با این حوزه در علم مطالبی را عنوان می نماییم.
به طور کلی می توان گفت که تا کنون بشر توانسته است برای پوشش دادن سطوح، دو روش نظم تناوبی و نظم شبه تناوبی را مطرح نماید. در نظم تناوبی، اساس کار مبتنی بر تقارن انتقالی است. تقارن انتقالی از تکرار یک عنصر به صورت متناوب و انتقالی به وجود می آید.
اشکالی که با تقارن انتقالی م یتوانند سطوح را پوشش دهند عبارتند از؛ لوزی) ۲ محور تقارن(، مستطیل) ۲ محور تقارن( ،مثلث) ۳ محور تقارن(، مربع) 4 محور تقارن( و شش ضلعی) 6 محور تقارن( )محمدیان منصور و فرامرزی ،۱۳۹۱، 47(.
ریاضیدانان در دنیای غرب تا قبل از دهه ۱۹7۰ چنین می پنداشتند که پوشاندن سطح فقط با اشکالی که ۲، ۳، 4 و 6 محور تقارن دارند، ممکن است و تصور می کردند که با اشکالی که 5، ۸، ۱۰و ۱۲ محور تقارن دارند نمی توان سطوح را پوشش داد .)Steurer, 2004, 392(
در علم شیمی نیز تا قبل از سال ۱۹۸4 محققان بیان می کردند که در مواد بلوری یا منظم، مبنای انتظام ماده به صورت تناوبی است. تمامی بلورها طبق قانون محدودیت بلور دارای دو شرط اساسی هستند:
اجزا با تقارن انتقالی فضا را پر کنند یعنی نظم تناوبی دارند.
تعداد محور تقارن در ساختار بلور ۲، ۳، 4 و 6 عدد می باشد
.)Bamberg et al, 2003,202-209(
در سال ۱۹7۳ راجر پنروز۱ گ ونهای از کاشیکاری را با دو کاشی لوزی شکل ارائه داد که می توانست سطح را بدون تقارن انتقالی پوشش دهد. این کاشیکاری بعدها به نام کاشیکاری پنروز نامگذاری شد. در این کاشیکاری تقارن 5 محوری است و به صورت شعاعی توزیع شده است.
چنانکه گفتیم در نظم تناوبی امکان استفاده از فرمهایی با 5، ۸، ۱۰ و ۱۲ محور تقارن وجود ندارد، اما در کاشیکاری پنروز م یتوان چینشی از ۱۰ ضلع یها را روی آن منطبق کرد که کل سطح پوشش داده شود )محمدیان منصور و فرامرزی ،۱۳۹۱، 57(. دانیل ششتمن نیز نخستین بار در ۱۹۸4 در یک آلیاژ، ساختاری کاملاً منظم را کشف کرد که در آن فضا با تقارن دورانی و با ۱۰ محور تقارن پر شده بود).)Shechtman and Blech, 1984, 1951Dکشف او به تغییر نگاه در علم شیمی منجر شد و در ۲۰۱۱ جایزه ی نوبل را دریافت نمود. این مواد جدید شبه بلور۲ نامیده شدند. شبه بلورها دس تهای جدید از مواد منظم بوده و به طور اساسی دارای دو ویژگی می باشند:
اجزا فاقد تقارن انتقالی هستند و نظم شبه تناوبی دارند.
تعداد محورهای تقارن آنها م یتواند 5، ۸، ۱۰ و ۱۲ محوری
باشد .)Steinhardt and Ostlund, 1987,1-15(از ۱۹۸4 تا کنون صدها شبه بلور گزارش شده و ا گرچه بیشتر در آلیاژها این ساختار دیده شده، اما در پلیمرها، ترکیبات آلی و حتی نمونه هایی در سنگ رودخ انهای هم کشف شده است .)Bindi, 2009, 1306-1309(
از آنجایی که یکی از مهم ترین ویژگ یهای نظم شبه تناوبی همانطور که گفتیم فقدان تقارن انتقالی است، پس نحوه گسترش و تکثیر این انتظام قدری پیچیده می باشد، چرا که دیگر با یک واحد که قرار است بی نهایت تکرار شود مواجه نیستیم لذا در ادامه جهت آشنایی با نحوه شکل گیری و ر وشهای ایجاد نظم شبه تناوبی مطالبی را مطرح می نماییم .
1-1-1- روش های توسعه نظم شبه تناوبیر وشهایی که تا کنون برای ایجاد و توسعه نظم شبه تناوبی پیشنهاد شده عبارتند از: روش تطبیقی، روش ترادیسی خودمتشابه، روش همپوشانی خوش های، روش تصویر کردن و روش شبکه د وگانه۳)Jeong, 2003, 1( . از بین این پنج روش، سه روش اول را به دلیل شناخت بیشتر در این مقاله مورد بررسی قرار م یدهیم.
همانطور که گفته شد در نظام شبه تناوبی تعداد محورهای تقارن 5، ۸، ۱۰ یا ۱۲ محوری م یباشد. بسیاری از مطالعات انجام شده در زمینه هندسه شبه تناوبی در خصوص ش بکههای ۱۰ محوری انجام شده اند، اما از آنجایی که پتکانه ها دارای نظم ۸ محوری هستند، در ادامه جهت ارائه مثال برای توضیح انواع روش های ایجاد نظم شبه تناوبی، از الگوی هشت محوری شبکه دوبعدی آمان- بینکر4 که یکی از شناخته ش دهترین چیدم انهای ۸ محوری است و همچنین دارای انطباق با ساختارهای ش بهبلوری است، استفاده می نماییم )تصویر۱(. در چیدمان آمان- بینکر، دو واحد تکرار قابل تشخیص است، این دو واحد تکرار عبارتند از، یک مربع و یک لوزی 45 درجه )تصویر ۳ a(.
شبه بلورهای هشت محوری اولین بار در سال ۱۹۸7 توسط نین وانگ5 شناخته شدند. از جمله شبه بلورهای هشت محوری که تا کنون کشف شده اند می توان به V-Ni-Si ،Cr-Ni-SiMn-Si-Al و Mn-Fe-Si اشاره کرد. در تصویر ۲، انطباق قسمت مرکزی چیدمان هشت محوری آمان- بینکر در دو مقیاس با تصویر پراش پرا گ آلیاژ Cr-Ni-Si نشان داده شده است .
روش تطبیقی
در روش تطبیقی، اساس کار بدین ترتیب است که روی اضلاعِ واحدهای تکرار، جه تهایی به شکل پیکان تعریف م یشود که این جه تها نحوه اتصال واحدهای پایه را به یکدیگر تعیین م یکنند ،
45
به این ترتیب کهدر اتصال دو واحد تکرار به یکدیگر، جهت پیک انهاباید بر هم منطبق باشد)Baake et al, 2002, 7( )تصویر ۳(.در تصویر ۳، بر مبنای روش تطبیقی واحدهای تکرار این چیدمان ج هتدار شده اند و بر مبنای این ج هتها هسته مرکزی چیدمان انتظام یافته است.
با استفاده از روش تطبیقی هم می توان الگوهای تناوبی و هم شبه تناوبی ایجاد نمود. به عبارتی دیگر هر چیدمان شبه تناوبی میبایست از اصول تطبیقی تبعیت نماید اما هر چیدمانی که بر مبنای روش تطبیقی سازمان دهی شده باشد، لزوماً ش بهتناوبی نیست .

تصویر 1- قسمت مرکزی شبکه هشت محوری آمان- بینکر.
)http://tilings.math.uni-bielefeld.de( :ماخذ

تصویـر 2- انطبـاق قسـمت مرکـزی چیدمـان هشـت محـوری آمـان- بینکـر در دو مقیـاس بـا تصویر پراش پرا گ آلیاژ Cr-Ni-Si.
)Wang et al, 1987,1010( :ماخذ
تصویر 3- هسته مرکزی چیدمان آمان- بینکر بر اساس روش تطبیقی.
۱۸
روش ترادیسی خودمتشابه
برای انتظام بخشیدن به چیدمانی بر مبنای روش ترادیسیخود متشابه، سه فا کتورِ6؛ واح دهای تکرار، ضریب انبساط و ماتریس جانشینی لازم است .
881619808406

در چیدمان آمان- بینکر، واحدهای تکرار چنانچه گفتیم عبارتند از؛ یک مربع و یک لوزی 45 درجه )تصویر 4، a(، ضریب انبساط عددی گنگ است که میزان بزرگنمایی واحد های پایه را نشان م یدهد. در چیدمان پنروز، ضریب انبساط برابر با عدد طلایی

7 و در چیدمان آمان- بینکر برابر با می باشد )تصویر 4(.
چنانچه طول اضلاع واحد تکرار در ضریب انبساط ضرب شود، واحد تکرار در مقیاسی بزرگ تر پدید می آید )تصویر .)b ،4نحوه خرد شدن این واحد تکرار در مقیاس بزرگتر، به واحد هایی با مقیاس اصلی را ماتریس جانشینی می نامند )تصویر 4، c (. با استفاده از این سه عامل می توان چیدمان را تا هر اندازه که بخواهیم به شیوه شبه تناوبی گسترش دهیم )تصویر 5(.
این روش در هندسه گره چینی در معماری ایرانی سابقه
دیرینه دارد و از آن تحت عنوان شاه گره یاد می شود)رییس زادهو مفید ،۱۳74، ۱5۹(.
44700055880

884105598805

2427603598805

ضریب انبساط در شاه گره ها ضرایبی از عدد طلایی می باشد. به عنوان مثال در شاه گره حاشیه دیواره جانبی ایوان غربی مسجد جامع اصفهان و در مقبره درب امام اصفهان، ضریب انبساط برابر و در شاه گره مسجد وکیل برابر می باشد .با استفاده از روش ترادیسی خود متشابه چیدمان هایی کاملاً شبه تناوبی تولید می گردد و لذا م یتوان گفت این روش توسعه یافته روش تطبیقی است.
روش همپوشانی خوشه ای
این روش در س الهای اخیر توجه زیادی را به خود معطوف نموده است)Liao et al, 2009, 876(. همانطور که گفتیم، از طریق در کنار هم قرارگرفتن یک واحد تکرار ۲، ۳، 4 یا 6 محوری ،نظم تناوبی شکل م یگیرد، حال چنانچه واحد تکرار 5، ۸، ۱۰ یا ۱۲ ضلعی باشد دیگر امکان پوشش دادن سطح از طریق در کنار هم قرار گرفتن واحدهای تکرار وجود ندارد، در چنین شرایطی
تصویر 4- a – تصویر واحد تکرار ،b گسترش واحد تکرار و c ماتریس جانشینی .
m/n=

تصویر 5- گسترش هسته مرکزی چیدمان آمان- بینکر بر اساس روش ترادیسی خود متشابه.

تصویر 6- خوشه های ارائه شده توسط گالر برای چیدمان هشت محوری آمان- بینکر .
)Liao et al, 2009, 876( :ماخذ
م یبایست واحدهای تکرار باهم تداخل داشته باشند، در این صورت به آن شبه واحد تکرار یا خوشه۸ گفته م یشود. ریاض یدان آلمانی پترا گاملت۹ در سال ۱۹۹6 شبه واحد تکراری ده ضلعی را برای چیدم انهای ده ضلعی پیشنهاد نموده است Jeong, 2003,(3(. فرانز گالر۱۰ نیز برای چیدمان آمان- بیکر شبه واحد تکراری را به صورت دو خوشه ارائه کرده است)Gahler, 1995, 2( )تصویر 6، a,b(. گالر در توسعه روش خود، خوشه دیگری را نیز ارائه م یکند که به تنهایی م یتواند چیدمان آمان- بینکر را تشکیل دهد. این خوشه همان هشت ضلعی متشکل از دو مربع و چهار لوزی است که البته با پیک انهایی جهت دار شده است )تصویر6، c(.
شبه واحد تکرار با واحدهای مجاور می تواند به صورت متداخل و یا مماس قرار بگیرد. برای تداخل شبه واحد تکرار با واحد مجاور فقط تعداد محدودی حالت همپوشانی ممکن است.)Liao, Fu 2008, 36( در تداخل ها، فصل مشترک می تواند یک واحد و یا بیشتر باشد اما پیکان ها می بایست هم جهت باشند. با استفاده از روش همپوشانی خ وشهای م یتوان چیدمان آمان- بینکر را به راحتی انتظام بخشید.
1-2- پتکانه11
استاد پیرنیا پتکانه را بدین صورت تعریف نموده است، «پتکانه به چند ردیف طاقچه م یگویند که روی هم سوار شده و جلو آمده باشد» )پیرنیا ،۱۳7۰، ۳۸(. براساس این تعریف، چنین به نظر م یرسد که پتکانه گون های از مقرنس است و لذا به نظر م یرسد که در ابتدا م یبایست که در خصوص مقرنس توضیحاتی ارائه گردد.
قدیم یترین نوشتاری که در آن به صورت منسجم به ارائه توضیحاتی در باب مقرنس پرداخته شده است، متعلق به غیاث الدین جمشید کاشانی در کتاب مفتاح الحساب، مقاله چهارم، باب نهم می باشد. در این رساله مبحثی در خصوص طرز ان دازهگیری و رسم م قرنسها آورده شده که در خلال آن به طبقه بندی مقرنس نیز پرداخته شده است. کاشانی در این رساله، مقرنس ها را به چهار نوع، مقرنس ساده، مقرنس مطین
)کشیده(، مقرنس قوس و مقرنس شیرازی دس تهبندی می کند .
مقرنس ساده: مقرنس ساده گونه ای از مقرنس است که خانه های۱۲ )واحدهای تکرار( آن به جای قوس دارای سطوح شکسته ۱۳ هستند و همچنین خ انههای آن در تصویر پلان عبارتند از: مربع، معین )لوزی(، لوزه )گونه ای از لوزی که دو ضلع مجاور باهم مساوی و متفاوت با دو ضلع مساوی دیگر و زاویه های بین اضلاع نامساوی با هم مساوی و قائمه هستند و دو زاویه مجاور باهم مختلف می باشند(، نصف مربع، نصف لوزی ،ذوالرجلین )دوپایه( و تعداد کمی پا باریک که فقط در طبقه بالایی قرار دارد و همچنین طول اضلاع در تمام اینها با یکدیگر مساوی است )تصویر 7(.
مقرنس مطین )کشیده:( مانند مقرنس ساده است به جز آنکه ارتفاع طبقات )قطارها( آن با یکدیگر متفاوت است و چه بسا دو یا سه طبقه آن بدون ضلع و فقط دارای سقف هایی هستند )به عبارت دیگر در مقرنس مطین تخت وجود دارد.(مقرنس قوس )منحنی(: این نوع مقرنس عیناً مانند مقرنس ساده است با این تفاوت که سقف آن به شکل قوس و منحنی است.
مقرنس شیرازی: مقرنس شیرازی مانند مقرنس قوس است به جز آنکه پایه اضلاع خان ههای آن منحنی است )کاشانی ،۱۳66، ۳۸(. در مقرنس شیرازی از سایر چندضلع یها نظیر مثلث، پنج ضلعی و شش ضلعی، هشت ضلعی و ستاره های چندگوشه نیز استفاده می شود. ارائه توضیح درخصوص طب قهبندی کاشانی نیاز به مبحثی مستقل دارد که به جهت رعایت ایجاز از آن صرفنظر می نماییم.
طبقه بندی دیگری نیز توسط شیرو تا کاهاشی روی مقرنس ها انجام شده است. تا کاهاشی، م قرنسها را به سه دسته: م قرنسهای «شبکه مربعی»، مقرنس های «شعاعی با چند ضلعی های ستاره ای» و دسته سوم را تحت عنوان «س بکهای دیگر» طبقه بندی نموده است۱4.

47
استاد پیرنیا نیز با مطرح کردن گ ونهای از مقرنس به نامپتکانه، در واقع به طب قهبندی مقرنس پرداخته است. از دیدگاه استاد پیرنیا، تفاوت اصلی پتکانه با مقرنس از حیث س ازهایست .
«در نظر اول پتکانه بسیار شبیه مقرنس است و با آن اشتباه می شود، تفاوت عمده این دو در نوع اجراست. مقرنس )چفد آویز( از سقف آویخته می شود ولی پتکانه روی پای خودش می ایستد و آویخته نمی شود برای ساختن آن اول طاقچه های پائینی را درست می کنند و ط اقچههای بالایی روی سر پائینی می نشیند ولی مقرنس از سقف شروع شده و به تدریج پایین می آید» )پیرنیا ،۱۳7۰، ۳۸(.
از تعریف فوق چنین برمی آید که، پتکانه دارای قابلیت خودایستایی است و در این صورت امکان ایجاد تخت نیز در آن وجود ندارد. اما در این تعریف از هندسه پتکانه صحبتی نشده است. برای شناخت هندسه پتکانه بر مبنای تعریف استاد پیرنیا ،می توان به بررسی ساختار هندسی نمونه های خود ایستا پرداخت و هندسه حا کم بر آنها را به عنوان هندسه پتکانه در نظر گرفت .
برای شناخت اولین نم ونههای خود ایستای پتکانه می بایست به سکن جها مراجعه نمود، چرا که چنین به نظر می رسد که پتکانه از توسعه و تکامل سکن جها شکل گرفته است .سکنج ترکیبی است از دو واحد تکرار ۳S )جدول۱و۲( که از طبقه فوقانی به هم متصل شده اند و طبقه تحتانی آنها حذف شده است. بر این اساس، هندسه سکنج از دو نیمه واحدِ تکرارِ مربع )۳S( تشکیل شده است.
رفته رفته با تکرار سکن جها بر روی هم، پتکانه توسعه یافته و نم ونههای غنی تری شکل گرفته است. نم ونهای مانند مقبره امیر اسماعیل سامانی ۲۹5 ه.ق، سر در مسجد جورجیر ۳۲7 ه.ق و نمونه متکام لتری مثل سقف محراب مسجد جامع نایین ۳4۹ ه.ق، جزء اولین نم ونههای شک لگیری پتکانه در ایران م یباشند .نمونه های متکامل تری نیز نظیر؛ مسجد جامع اردستان، مسجد حیدریه قزوین، مسجد جامع گلپایگان و مسجد جامع اصفهان در دوره سلجوقیان شکل گرفته و در دوره ایلخانان به اوج و تکامل خود می رسند .
بررسی هندسی واحدهای تکرار به کار رفته در پتک انههای
دوره سلجوقی و ایلخانی )جدول ۱و۲( بر ما روشن ساخت که، این واحدهای تکرار با خ انههایی که غیاث الدین جمشید کاشانی در گونه مقرنس ساده و قوس معرفی می کند کاملاً منطبق می باشد و لذا م یتوان گفت آنچه که استاد پیرنیا پتکانه می نامد، از نظر هندسی متشکل از واحدهای تکراریست که در جداول ۱و۲ ارائه شده است و بر این اساس، پتکانه معادل مقرنس های ساده و قوس در طب قهبندی کاشانی و همچنین معادل مقرنس های شبکه مربعی در طبقه بندی تا کاهاشی است.
هرچند که در این مقاله هدف اصلی، ارائه طبقه بندی و تعریف پتکانه نمی باشد، اما نا گزیریم برای روشن شدن موضوع مورد بحث به تعریف منظور نظر خود از پتکانه بپردازیم .
منظور ما در این مقاله از پتکانه، گونه ای از مقرنس است که اولاً دارای خاصیت خ ودایستایی است )هرچند که نمونه های
تصویر 7- عناصر تشکیل دهنده مقرنس ساده، مطین )کشیده( و قوس )منحنی( مفتاح الحساب، مقاله چهارم، باب نهم، غیاث الدین جمشید کاشانی.
)Hoeven, veen, 2010,9( :ماخذ
۱8
آرایه ای نیز وجود دارد( و ثانیاً هندسه آن در پان متشكل از مربع و لوزی های 45 درجه می باشد. به نظر م یرسد که سبک رایج مقرنس تا دوره ایلخانی همین چیزی است که ما در این نوشتار آنرا به تبعیت از استاد پیرنیا پتكانه نامیدیم .
قدیمی ترین سند به جای مانده از گذشته که می تواند اطاعاتی در درخصوص روش رسم و هندسه پتكانه برای ما به همراه داشته باشد، قطعه خشتی است که در ک اوشهای تخت سلیمان در تكاب کشف شده است )تصویر 8a (. این قطعه خشت پان یک ربع پتكانه می باشد که گویا در بنای دوره ایلخانی موجود در تخت سلیمان اجرا شده بوده است، در همان مكان قطعاتی از اجزای یک پتكانه نیز کشف شده است )تصویر .)c, d -8تا کنون مقالات متعددی در خصوص کشف و ارائه ساختار سه بعدی این پتكانه ارائه شده است که از آن میان م یتوان به مقاله اولریش هارب، محمدعلی جال یفانی )ترجمه شده توسط دکتر باقر آیت الله زاده شیرازی( و سیلویا هارمسن اشاره کرد .
عدم وجود اتفاق نظر در مورد ساختار سه بعدی این پتكانه ،نشان از وجود ناخوانایی پان این پتكانه، برای محققیق امروزی است. برای رفع این مشكل، معماران سنتی معاصر و پژوهشگران، راهكارهایی ارائه داده اند که در ادامه به ارائه این راهكارها خواهیم پرداخت .
1-2-1- شناخت ساختار هندسی واحد های تكرار پتكانهبه طور کلی در تصویر پان یک پتكانه، دو واحد تكرار مربع و لوزی قابل تشخیص است، اما این دو واحد تكرار هرکدام از نظر فرم سه بعدی م یتوانند چند حالت مختلف داشته باشند .همانطور که گفتیم چنانچه پتكانه به شكل تصویر 8 -b ترسیم شود، تشخیص اینكه فرم سه بعدی هر واحد تكرار، و به تبع آن کلیت پتكانه چگونه است، بسیار مشكل خواهد شد و می توان آن را به بیش از یک حالت تفسیر کرد. برای تشخیص فرم سه بعدی واحد تكرار در تصویر پان، دو روش مطرح شده است که در ادامه این دو روش را به اختصار بیان می کنیم.
روش اول: این روش که بر مبنای خط قطار تعریف می شود، نزد معماران سنتی مرسوم است. واحدهای تكرار در بیشتر حالاتشان دارای دو طبقه هستند. در وسط این دو طبقه ترازی افقی شكل م یگیرد که به آن خط قطار گفته م یشود. در این روش برای درک صحیح سهبعدی، خط قطار را در پان پتكانه با ضخامت بیشتر ترسیم می نمایند )جدول ۱و۲(.
خطوط قطار در پانِ یک پتكانه بر ما روشن می سازد که تمام نقاط قرار گرفته روی یک خط قطار در یک تراز ارتفاعی یكسان قرار دارند. معماران گذشته با توجه به شناختی که به هندسه پتكان هها داشته اند، با نگاه کردن به محل خط قطار در پتكان هها م یتوانستند سه بعدی آن را تشخیص دهند، اما شاید بتوان گفت برای درک ساده تر پان یک پتكانه، خط قطار به تنهایی گویا نیست. مخصوصاً زمانی که در تصویر پان واحدهای تكرار در کنار هم قرار گرفت هاند.
روش دوم: این روش توسط دکتر سیلویا هارمسن ارائه شده و تحت عنوانمقرنس گراف» نیز نامگذاری شده است. اساس این روش مشابه با روش تطبیقی است و بر مبنای استفاده ازپیكان هایی برای نشان دادن جهت گیری ق وسها تدوین شده است. روش هارمسن دارای دو مرحله به قرار ذیل می باشد .)Hoeven, veen, 2010,12(
مرحله اول عبارتست از؛ جهت دهی به ق وسها براساس پنج قانونی که توسط هارمسن ارائه شده است.
نكته جالب توجهی که در مقایسه پیكان های استفاده شده در روش هارمسن و پیكان های روش تطبیقی وجود دارد اینست که؛ جهت گیری پیكان ها در روش تطبیقی، کاماً قراردادی است و به دلیل جلوگیری از ایجاد اتصال غلط، قرار داده ش دهاند .اما ج هتهای واحدهای تكرار در پتكانه قراردادی نیستند و بر مبنای جهت ق وسها قرار گرف تهاند و ممكن نیست بتوان دو واحد تكرار ناجور را در کنار هم قرار دهیم.
بعد از اینكه بر مبنای پنج قانون هارمسن جه تگیری ق وسها مشخص شد، خواهیم دید که هنوز هم امكان تفسیر های مختلف س هبعدی از طرح پان وجود دارد، هارمسن نیز این تفسی رهای مختلف را در رساله دکتری خود بررسی نموده است.)Harmsen, 2006, 36(
مرحله دوم، عبارتست از؛ تعیین ارتفاع از بالاترین سطح به طرف

تصویر 8- a- قطعه خشت یافت شده در تخت سلیمان b- ترسیم پلان از روی قطعه خشت یافت شده Hoeven, veen, 2010,14) c( و d قطعات مقرنس یافت شده در تخت سلیمان.
)Harmsen, 2006, 4) :ماخذ

تصویر 9 – جه تگیری و تعیین ارتفاع به روش مقرنس گراف.
)Harmsen, 2006,4) :ماخذ
پایی نترین سطح. این مرحله از بروز تفسی رهای مختلف جلوگیری م ینماید بدین ترتیب که به بالاترین طبقه عدد h را نسبت میدهیم و بعد از پیمودن خلاف جهت هر یال، به هر راسی که رسیدیم عدد h-۱ را نسبت م یدهیم، بدین ترتیب نقاط هم ارتفاع مشخص م یشوند. در روش هارمسن چنانچه اعداد یکسان را به هم متصل نماییم در واقع همان خطوط قطار تشکیل م یشوند. در این نوشتار به جهت سهولت ادرا ک س هبعدی از تصویر پلان یک پتکانه، از تلفیق هر دو روش با یکدیگر استفاده نم ودهایم.
در یک واحد تکرار لوزی یا مربع، محل خط قطار می تواند ح التهای مختلفی داشته باشد که این مح لهای متفاوت بستگی به عواملی نظیر؛ خود ایستایی، آویز بودن و یا دوره تاریخی است. به منظور آشنایی با انواع حالت های قرار گیری خط

قطار و همچنین شناخت انواع مختلف واحد های پایه در جداول
۱و ۲ به طبقه بندی این واحدها پرداخته ایم.
2- بررسی وجود نظم شبه تناوبیدر ساختار پتکانه
برای اثبات وجود نظم شبه تناوبی در ساختار پتکانه قصد داریم تا در سه سطح به بررسی این موضوع بپردازیم. سطح اول برخورداری از واحدهای تکرار، مشابه با ساختار نظم شبه تناوبیِ هشت محوری است سطح دوم، وجود نظم شبه تناوبی در هسته مرکزی و سطح سوم نیز توسعه و گسترش پتکانه براساس اصول نظم شبه تناوبی م یباشد. در صورت وجود سطح اول و دوم
جدول 1- طبقه بندی انواع حال تهای واحد تکرار لوزی و نمایش محل خط قطار در آنها به همراه تصویر سه بعدی، نمونه واقعی و تعدادی از مک انهایی که واحد تکرار مزبور در آنها اجرا شده است.

جدول 2- طبقه بندی انواع حال تهای واحد تکرار مربع و نمایش محل خط قطار در آنها به همراه تصویر سه بعدی، نمونه واقعی و تعدادی از مک انهایی که واحد تکرار مزبور در آنها اجرا شده است.
تشابه، مسئله وجود نظم شبه تناوبیِ هشت محوری در پتکانه آشکار خواهد شد و مطرح کردن سطح سوم در واقع برای روشن شدن نحوه رشد و گسترش پتک انهها خارج از هسته مرکزی است.
1-2- بررسی سطح اول تشابه
با مقایسه ساختار هندسی واحدهایِ تکرار پتکانه )جداول ۱و۲(، با واحدهای تکرار چیدمان های هشت محوری
)تصویر۳،a( مشخص است که پتکانه از واحدهای تکرار مشابه با اصول نظم شبه تناوبیِ هشت محوری برخوردار است و لذا سطح اول مشابهت برقرار می باشد .
2-2(- بررسی سطح دوم تشابه
در بررسی سطح دوم تشابه همانطور که گفتیم قصد داریم تا موضوع وجود شباهت در هسته مرکزی چیدم انهای شبه تناوبیِ هشت محوری را با هسته مرکزی پتکانه مورد بررسی قرار دهیم. برای این منظور از بین چندین پتکانه که با هسته مرکزی چیدم انهایِ هشت محوری شباهت دارند۱5، پتکان ههای کار شده در داخل گوش هس ازیهای مسجد جامع گلپایگان را به دلیل برخورداری از اجزای بسیار متکامل، به عنوان نمونه موردی برگزیدیم. گنبد خانه مسجد جامع گلپایگان در زمان محمد بن ملکشاه سلجوقی )در حدود 4۹۸- 5۱۲ ه. ق( ساخته شده است )حاجی قاسمی ،
۱۳۸۳، ۸۸(. در داخل سکن جهای زیر گنبد، پتکان ههایی وجود دارد، که به تحلیل هندسی یکی از آنها م یپردازیم )تصویر ۱۰(.
چنانچه در تصویر ۱۰ دیده م یشود انطباق جالب توجهی بین این پتکانه با هسته مرکزی چیدمان آمان- بینکر و همچنین با ساختار هندسی آلیاژ Cr-Ni-Si وجود دارد. اما تف اوتهای مختصری نیز وجود دارد که در ادامه به بررسی علل آن م یپردازیم .واحدهای تکرار ۱S۱ ، R و 5R چنانکه در تصویر ۱۱ دیده می شود، به شکل کاملاً مشابهی با چیدمان آمان- بینکر قرار گرفته اند. استفاده از طبقه فوقانی واحدهای پایه ۳S در حاشیه پیرامونی نیز به دلیل انطباق با زمینه مربع شکل پتکانه م یباشد. اما دلیل استفاده از دو واحد ۳S که در تصویر۱۱ a، به صورت تی رهتر نمایش داده ش دهاند چیست؟ و چرا از همان واحد تکرار ۱S استفاده نشده است؟
برای درک علت این موضوع م یتوان دو امکان مختلف را بررسی و مقایسه نمود. امکان اول، استفاده از واحد تکرار ۳S )مشابه با مسجد جامع گلپایگان( و امکان دوم استفاده از واحد تکرار ۱S. در تصویر ۱۱ این دو امکان مختلف، در پلان و تصویر س هبعدی مقایسه ش دهاند. این مقایسه روشن م یسازد که در صورت استفاده از واحد تکرار ۳S چنانکه در تصویر ۱۱،a نشان داده شده، ق وسها در نما کاملاً پله پل های و دارای ریتم و توازن هستند اما در صورت استفاده از واحد تکرار ۱S چنانکه در تصویر ۱۱b، نشان داده شده، ق وسها دارای نمایی ناموزون هستند. پس م یتوان گفت استفاده از واحد تکرار ۳S نه اتفاقی است و نه به دلیل عدم تسلط بر ساختار هندسی، بلکه کاملاً تعمدی و به جهت ارتقای کیفیت بصری آن است.
تا اینجا می توان گفت که بین هسته مرکزی چیدم انهای شبه تناوبیِ هشت محوری و ساختار هندسی آلیاژهای شبه بلوری و هسته مرکزی پتکانه شباهت کاملی وجود دارد .
2-3(- بررسی سطح سوم تشابه
در این مرحله به بررسی نمونه موردی دیگری می پردازیم تا مسئله نحوه گسترش و رشد پتکانه بعد از محدوده هسته مرکزی روشن شود. برای این منظور، پتکانه موجود در محراب مسجد کرمانی در مجموعه شیخ احمد جام را به دلیل هندسه متکامل آن انتخاب نمودیم. این بنا براساس نسخه خطی مقامات اولاد شیخ جام در سال 7۳۰ هجری قمری احداث شده است )حاجی قاسمی ،۱۳۸۹، ۲۱۲( )تصویر ۱۲(.
چنانچه در تصویر پلان معکوس این پتکانه مشخص است، این پتکانه دارای تقارن چهار محوریست )تصویر4a۱(، که این مسئله نشانگر اولین تعارض با اصول گسترش نظم شبه تناوبیِ هشت محوری است، چرا که در یک چیدمان شبه تناوبیِ هشت محوری در هر مرحل های از رشد، زمینه م یبایست دارای هشت محور تقارن باشد .در ادامه برای روشن شدن بیشتر موضوع به تحلیل و بررسی این نمونه بر اساس یکی از ر وشهای توسعه نظم شبه تناوبی م یپردازیم.
توسعه نظم شبه تناوبی چنانچه گفتیم م یبایست بر مبنای یکی از روش های مطرح شده در بخش ۱-۱-۱ باشد. برای این منظور و جهت روشن شدن نحوه رشد و توسعه در پتکانه مورد


بحث، از روش همپوشانی خ وشهای به دلیل قابلیت های فراوان آن استفاده نموده ایم. چنانچه گفتیم در این روش می بایست ابتدا خ وشههایی را تعریف نماییم و بر مبنای تداخل و همپوشانی خوشه ها سطح را پوشش دهیم .
دوخوش های که برای این منظور تعریف نمودیم، دارای شباه تهایی با خوش ههای پیشنهادی فرانز گالر هستند. این دو خوشه در تصویر پلان یکسان اما در سه بعدی متفاوت هستند )تصویر ۱۳(. با بررسی روی پلان معکوس این پتکانه و ک دگذاری همه واح دهای تکرار )تصویر۱4a( مشخص شد که، اصل یترین واحدهای تکرار بکار رفته در این پتکانه ،۲R۲ ،S و 5R میباشند. این تنوعِ کمِ وا حدهای تکرار سبب شک لگیری نوعی خلوص در این پتکانه شده است. البته تعدادی نیمه واحدهای پایه ۳S نیز، در حاشیه پیرامونی وجود دارد که به دلیل انطباق با سطوح دیوار پیرامونی به کار برده ش دهاند.
در تصویر ۱4b ، پتکانه مزبور بر مبنای خوشه های A و B چیدمان شده است. در این چیدمان، خ وشهها گاهی در
447000550666مجاورت هم و گاهی نیز دارای همپوشانی هستند، در خصوص
تصویر12- محراب مسجد کرمانی- مزار شیخ احمد جام.
-648588-1001572339411528672تصویر01 – a و c تصویر پتکانه مسجد جامع گلپایگان ،b- پلان پتکانه ،d- انطباق پلان پتکانه با تصویر پراش پرا گ آلیاژ Cr-Ni-Si.
تصویر11 – a استفاده از واحد تکرار S3 )مسجد جامع گلپایگان( ،b استفاده از واحد تکرار . S1تصویر13- پلان و تصویر سه بعدی شبه واحد تکرار )خوشه( A و.B

خوشه هایA، همپوشانی کاملاً بی نقص می باشد. با بررسی در محل همپوشانی خوشه های B در کنج ها )ق سمتهای سفید رنگ(، مشخص شد که در این محل ها از واحد های تکرار ۲S که م یبایست استفاده م یشد )مطابق با تصویر ۱۳(، استفاده نشده است. عناصر به کار گرفته شده در این قسمت، ترکیبی از طبقه تحتانی دو واحد تکرار ۳S )تصویر ۱5( م یباشد. چنانکه مبرهن است، استفاده از واحدهای تکرار ۲S در محل همپوشانی غیرممکن است و لذا معماران ایرانی به روش خلاقانه ای، یک عنصر ترکیبی ابداع نموده اند و با این کار مسئله انطباق پتکانه در زمینه چهارمحوری را حل نموده اند.
چنانکه در جداول ۱و۲ نشان داده شده است، همه واحدهای تکرار، دارای یک پایه هستند اما عنصر ترکیبی بررسی شده در تصویر ۱5 دارای دو پایه است. نظیر این عنصر در همین موقعیت در بسیاری از نم ونههای مشابه مانند، پتکانه گنبد سلطانیه ،پتکانه ایوان جنوبی مسجد جامع ورامین و سایر پتکانه های مسجد کرمانی در مزار شیخ احمد جام، نیز وجود دارد.
تصویر41- a- کد گذاری پلان معکوس پتکانه محراب مسجد کرمانی در مزار شیخ احمد جام، بر مبنای جدول1و2، b، خوشه بندی پتکانه مذکور بر مبنای شبه واحد تکرار )خوشه( A و .B

نتیجه

نظم شبه تناوبی از جمله انتظام های خُرد مقیاس موجود در عالم طبیعت است که معماران ایرانی از قدی مالایام با آن آشنایی داش تهاند و به دو صورت دو بعدی )گره چینی( و فضا کار )پتکانه( از آن استفاده نموده اند. این نظم در دوره معاصر توسط دانشمندان ریاضی، شیمی و فیزیک مورد بررسی های فراوانی قرارگرفته و به صورت مدونی سازم اندهی شده است. در این تحقیق به دنبال اثبات علمی وجود این نظم در ساختار هندسی پتکانه هستیم .
در این راستا برای پاسخ گویی به سوال تحقیق مبنی بر اینکه، آیا در ساختار هندسی پتکانه نظم شبه تناوبیِ هشت محوری وجود دارد، باید گفت که پتکانه در ویژگ یهای ذیل با چیدمان های شبه تناوبی هشت محوری مشابهت دارد.
الف- واحدهای تکرار مشابه )مقایسه جدول ۱و۲ با تصویر ۳،a(ب- هسته مرکزی مشابه با چیدمان های هشت محوری
)مقایسه تصویر ۱۰ با تصویر ۳ a(
ج- امکان خ وشهبندی براساس اصول روش همپوشانی خوشه ای )تصویر۱4.)b،
بهره مندی از این تشابهات بر ما روشن م یسازد که پتکانه در هسته مرکزی خود دارای نظم شبه تناوبیِ هشت محوری است و همچنین پتانسیل رشد بر مبنای نظم شبه تناوبی را نیز دارد.
با وجود ب هرهمندی از ویژگ یهای فوق، بررس یهای صورت گرفته در سطح سوم تشابه در نهایت ما را به این نتیجه م یرساند که اولاً، بسیاری از پتک انهها در ساختار توسعه یافته خود دارای تقارن چهار محوری هستند که این موضوع با اصول توسعه و گسترش نظم شبه تناوبی در تعارض است. ثانیاً وجود عناصر ترکیبی نمایش داده شده در تصویر ۱5، در واقع به منزله عدم رعایت اصول نظم شبه تناوبی است و در مجموع باید گفت نمونه مطرح شده و بسیاری از نمونه های بررسی شده دیگر در توسعه و گسترش خود از اصول و ر وشهای رشد ش بهتناوبی تبعیت ننموده اند.
سوال اساس یتری که رخ م ینماید اینست که؛ با توجه به اینکه پتکانه در هسته مرکزی خود دارای نظم ش بهتناوبی است، چرا در توسعه و گسترش بر مبنای نظم شبه تناوبی رشد نمی نماید؟ پاسخ این سوال را باید در بررسی زمینه هایی که پتکانه در آنها اجرا شده جستجو نمود. زمینه اجرای پتکانه ها عموماً دارای تقارن چهارمحوری است و پتکانه درصورتی که بخواهد بر مبنای نظم شبه تناوبی هشت محوری رشد نماید دارای زمینه هشت ضلعی خواهد شد و لذا معماران ایرانی با انجام تغییراتی در ساختار هندسی بعضی واحدهای تکرار توانسته اند این انتظام هشت محوری را در زمینه های چهار محوری اجرا نمایند.
با توجه به این موضوع یافته های این تحقیق را می توان بدین ترتیب خلاصه نمود.
اولین یافته این تحقیق اثبات وجود نظم شبه تناوبی در ساختار هسته مرکزی پتکانه است. بنابراین م یتوان ادعا نمود که ایرانیان از دوره ایلخانی با اصول نظم شبه تناوبیِ هشت محوری آشنایی داش تهاند. این ادعا، یافته پروفسور لو، مبنی بر اینکه ایرانیان از دوره تیموری با این هندسه آشنایی داشته اند، را تا دوره ایلخانی توسعه می دهد.
4649992586352

دومین یافته این تحقیق، نشان دادن قابلیت پتکانه در تغییر تقارن هشت محوری هسته مرکزی، به تقارن چهارمحوری زمینه پیرامون است. این یافته تحقیق گویای تلفیق دو نظام هندسی متفاوت در معماری ایرانی است. نظام اول، نظام هندسیِ منطبق بر ساختار خرد مقیاس طبیعت می باشد که در اینجا در هسته مرکزی پتکانه ظاهر شده است )تصویر۱۰(. نظام دوم، نظام هندسی عملکردی واقع در پلان معماری است که عموماً مربع یا مستطیل است. نظام هندسی اول، در مورد پتکانه، هشت محوری و منطبق بر ساختار شبه بلورهاست و نظام هندسی دوم چهار محوری و بر مبنای هندسه عملکردیِ انسانی است .تنوع فوق العاده چپ یرهسازی های معماران ایرانی نشانگر تلاشی همیشگی برای مرتبط نمودن این دو نظام هندسی است.
پی نوشت ها
۱ راجر پنروز )Sir Roger Penrose, 1931(فیزیکدان و ریاضی دان برجسته انگلیسی است .
۲ شبه بلور )Quasicrystal( اختصاری از واژه بلور شبه تناوبی) Quasiperiodic
.می باشد)Crystal
Inflation rule or Self- Similar ، )روش تطبیقی( Matching rule ۳ روش( Covering rule ، )روش ترادیسی خودمتشابه( transformation rule
Dual grid rule، )روش تصویر کردن( Projection rule، )همپوشانی خوشه ای
)روش شبکه دوگانه.(
در سال ۱۹77 روبرت آمان )Robert Amman n( چندین نمونه از شبکه های شبه تناوبی را یافت که شبکه آمان بینکر تصویر ۱ مع روفترین آنهاست. در ۱۹۸۲ بینکر) F. P. M. Beenker( بعضی خصوصیات جبری را در مورد این شبکه بیان نمود و همچنین روش ایجاد آن را با استفاده از روش تصویر کردن بیان نمود.
Ning Wang.
Substitution، )ضریب انبساط( Inflation Factor، )واحد تکرار( Unit cell
1947392162331Matrix )ماتریس جانشینی.(
7
).خوشه( Cluster، )شبه واحد تکرار( Quasi Unit Cell _QUC ۸
۹ پترا گاملت) Petra Gummelt( ریاضی دان آلمانی.
10 Franz Gähler.
۱۱ غیاث الدین جمشید کاشانی در رساله طاق و ازج از واژه مقرنس سخن گفته و نامی از پتکانه نیاورده است و به نظر می رسد واژه پتکانه در آن زمان کاربرد نداشته است. اما با توجه به استفاده استاد پیرنیا از واژه پتکانه ما نیز به تبعیت از ایشان از همین نام برای این گونه استفاده نموده ایم.
۱۲ کاشانی در رساله خود آنچه را که ما در این نوشتار واحد تکرار نامیدیم ،
12815713497

54
خانه نامیده است. در متون محققیق غربی نیز واحد های تکرار تحت عنوان سلول نامیده می شود.
۱۳ شکل قوس به کار رفته در ساختار واحد تکرار )خانه( را کاشانی در رساله طاق و ازج ترسیم نموده است اما در بسیاری از نمونه هایی که مورد بررسی قرار دادیم، قوس و ارتفاع آنها منطبق بر ترسیم کاشانی نیست لذا در این نوشتار از ارائه شکل قوس صرفه نظر نمودیم.
14 Square Muqarnas ، Pole table Muqarnas و Other styles of Muqarnas،
www.tamabi.ac.jp/idd/shiro/muqarnas.
۱5 پتکانه زیر گنبد بابا قاسم اصفهان، پتکانه یکی از چشمه طاقهای مسجد جامع اصفهان، پتکانه زیر گنبد مسجد جامع ورزنه و پتکانه های کار شده در داخل گوشه سازی های مسجد جامع گلپایگان.
فهرست منابع
پیر نیا، محمد کریم) ۱۳7۰(، گنبد در معماری ایران، مجله اثر، شماره ۲۰، صص 5-۱5۳.
بزنووال،رولان) ۱۳7۹(، فن آوری طاق در خاور کهن، ترجمه سید محسن حبیبی، انتشارات سازمان میراث فرهنگی، تهران.
حاجی قاسمی، کامبیز) ۱۳۸۳(، گنجنامه، مساجد جامع، دفتر هشتم ،انتشارات دانشگاه شهید بهشتی، انتشارات روزنه، تهران .
حاجی قاسمی، کامبیز) ۱۳۸۹(، گنجنامه، امام زاده ها و مقابر، دفتر یازدهم، انتشارات دانشگاه شهید بهشتی، انتشارات روزنه، تهران .
رئیس زاده، مهناز و حسین مفید) ۱۳74(، احیای هنرهای از یاد رفته، انتشارات مولی، تهران.
کاشانی، غیاث الدین جمشید)۱۳66(، رساله طاق و ازج، ترجمه و تحشیه سید علیرضا جذبی، انتشارات سروش، تهران.
محمدیان منصور، صاحب و سینا فرامرزی) ۱۳۹۱(، مقایسه نظم شبه تناوبی شاه گره با ساختار شبه بلوری سیلیکون ،مجله هنرهای زیبا تجسمی، شماره 5۰، صص 6۹-۸۰.
Baake M, Grimm U and Moody R V )2002(, What is aperiodic order, order? http://arxiv.org/pdf/math.Ho/0203252,64-74.
Bamberg, John, Grant Cairns and Devin Kilminster )2003(, The crystallographic restriction, permutations, and Goldbach’s conjecture, American Mathematical Monthly, vol 110, p202_.902
Bindi, L, Steinhardt, P.J, Yao, N, and Lu, P.J. )2009(, Natural Quasicrystals, Science, Vol 324, No 5932, 1306_1309. F. Gahler and Hyeong-Chai Jeong )1995(, Quasicrystaline ground States Without matching rules, Journal of Physics A, Mathematical and General, Volume 28, Number 7, P 1807.
Harmsen, S. )2006(, Algorithmic Computer Reconstructions of
Stalactite Vaults _ Muqarnas _ in Islamic Architecture, Ph.D. Thesis, University of Heidelberg.
Hoeven, S., and Veen, M. )2010(, Muqarnas: Mathematics in Islamic Arts, Seminar Mathematics in Islamic Arts, Utrecht University, Faculty of Science, Department of Mathematics.
Jeong, Hyeong-Chai )2003(, Inflation rule for Gummelt coverings with decorated decagons and its implication to quasi-unit-cell models, Acta crystallographica. Section A: Foundations of crystallography, Vol 59, No 4, 361-6.
Liao et al )2010(, Quasi-unit cell description of two-dimensional,
octagonal quasilattice, Vol 405, No 3, 875-879.
Liao, long, Fu, Xiujun, )2008(, Structural properties of octagonal quasicrystal based on covering theory, Solid State Communications, Vol 146, Issue 1, PP 35-38.
Lu J. Peter and Paul J. Steinhardt )2007(, Decagonal and Quasi-
crystalline Tiling’s in Medieval Islamic Architecture, Science, Vol. 315, pp. 1106-1110.
N. Wang, H. Chen, K.H. Kuo )1987(, ”Two-dimensional quasicrystal with eightfold rotational symmetry“, Phys. Rev. Lett, 59, pp 1010_ .3101
Shechtman, D and I. Blech )1984(, Metallic Phase with Long-Range
Orientational Order and No Translational Symmetry, Physical Reviewe Letters, Vol 53, No 20, 1951-1953.
Steinhardt J. Paul and Stellan Ostlund )1987(, The Physics of Quasicrystals, World Scientific Publishing, Singapore, p 1-15.
Steurer, W. )2004(, Twenty years of structure research on quasicrystals. Part I. Pentagonal, octagonal, decagonal and dodecagonal quasicrystals, Zeitschrift für Kristallographie, 219, 391_.644 http://tilings.math.uni-bielefeld.de



قیمت: تومان

دسته بندی : معماری و شهرسازی

دیدگاهتان را بنویسید